Tangenter
En tangent är en rät linje skrivs den på formen $y=kx+m$ och är en linje som nuddar en kurva utan att korsa den, man säger att den tangerar.
Lutningen hos en tangent i en punkt är samma som derivatan av funktionen i samma punkt. Det skrivs som
$k=f’(a)$
Och är ett mycket viktigt samband!
Dess lutning k är konstant och en tangent existerar bara om derivatan i kurvans punkt existerar.
- - Tangenten till en cirkel är alltid vinkelrät mot cirkelns radie
- - Tangenten är vinkelräta mot kurvans normal
- - För approximation är tangenten den bästa linjära approximationen i just den punkten.
Riktningen för en tangent är intressant att studera, för en kurva kan man tänka sig tangenten som en pil, ju högre upp den pekar desto större är derivatan.
Tangenten är en linje som rör vid en cirkel på en enda punkt, men inte korsar den. Den är alltid vinkelrät mot radien som går från cirkelns mittpunkt till punkten där den rör vid cirkelns rand.
Ett exempel på användningen av tangenten är att bestämma längden på en linje som rör vid ett objekt, såsom en cirkel eller en kurva.
De är otroligt viktiga i matematik, fysik, geometri och matematisk analys. I fysik kan man använda ta
När jag säger &#;tangentlinje&#; tänker du kanske på någon av dessa bilder:
En tangentlinje nuddar precis en kurva i en viss punkt. Ofta har jag tänkt att en tangent aldrig är en sekant, det vill säga att tangenten aldrig kan skära kurvan.
Men vad är då detta för något?
Nu skär ju uppenbarligen den röda linjen kurvan. Det går inte att rita en linje som precis nuddar kurvan i origo, utan att det blir skärning!
Det förklaras med att definitionen på en tangent baserar sig på sekanter, det vill säga vanliga linjer som skär kurvan i några punkter, minst två:
Tangent
En tangent till en kurva i en punkt A är vad sekanterna genom A närmar sig mot, då en annan av sekantens skärningspunkter med kurvan (punkten B) närmar sig A.
Därför blir tangenten i origo till grafen för horisontell och vi har en så kallad terasspunkt i origo.
Tangenter till cirklar är speciella: de är vinkelräta mot radien, som ritas från cirkelns mittpunkt till tangeringspunkten!
Lutningen på tangenten är viktig, för att den ger oss derivatan i den punkten. Låt oss kolla på lutningen på radien först. För enkelhets skull antag att det är enhetcirkeln vi tittar på.
Lutningen är lika med för
Tangent (matematik)
En tangent är inom plangeometri en rät linje, som tangerar en kurva i en punkt, tangeringspunkten, i vilken tangentens lutning, eller riktningskoefficient, är lika med kurvans lutning, dess derivata.
Stringent uttryckt, sägs en rät linje vara en tangent till kurvan f(x) i punkten (c, f(c)), om linjen går genom punkten och har lutningen f'(c), där f(x) är derivatan av f(x). Inom geometrin kan en tangent approximeras med en sekant.
Om tangeringspunkten och riktningskoefficienten för tangenten är känd, kan tangentens ekvation bestämmas med enpunktsformen
vilken även kan skrivas på k-form
där k är riktningskoefficienten och tangeringspunkten är (x0, y0).
I det specialfall, där kurvan är en cirkel, är tangenten vinkelrät mot radien.
Inom tredimensionell geometri bildar alla tangenter till en yta i tangeringspunkten ett tangentplan. Vid fler dimensioner talar man om tangentrum.
Analys
En "formell" definition av tangenten kräver matematisk analys. Antag att kurvan är en graf av en funktiony = f(x) och att vi är intresserade av informationen i punkten (x0,
Begreppen sekant och tangent
Ändringskvot
| Definition |
|---|
| Ändringskvoten Ändringskvot är en förändring per tidsenhet eller annan enhet. Kan även kallas differenskvot. Både ändringskvoten och sekantens lutning kan skrivas [math]\displaystyle{ \frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} }[/math] |
Det finns många ord för samma sak. Ändringskvoten är vad som efterfrågas i uppgifter där man frågar om: medellutning, temperaturändring, genomsnittlig förändrningshastighet, medelhastighet, riktningskoefficient, mm.
Sekanten
En linje som skär en kurva i två punkter kallas sekant.
| Definition |
|---|
| Sekantlinje En sekantlinje av en kurva är en rät linje som skär två eller fler punkter på kurvan. En sekantlinje kallas oftast för en sekant, men det ordet används också ibland för enbart sträckan mellan de två punkterna på sekantlinjen. Själva ordet sekant kommer från latinets "secare" som betyder "att skära" eller "att klippa" |
Om punkterna ligger nära varandra kommer sekanten att ha ungefär samma lutning som en tangent mellan punkterna. Sekantlinjen kan användas för att approximera tangenten för en kurva i en punkt P. Om sekante
.